כשפומטיקה #7

על־פי "אליס בארץ המתמטיקה". מבוסס בחופשיות על "גולדשטיין" וסדרת "הארי פוטר".

צ'ארלס לוּטְווִיג דוֹדְג'סון היה סקיבּ. למזלו, הוא היה אוטודידקט – כלומר מאלו שמסוגלים ללמוד לבד. ידיעותיו בכשפומטיקה ניכרו היטב בכתביו. את חלקם הוא אף פרסם בקרב מוגלגים.
בעזרת תעלול כשפומטי על שמו, הוא קרא לעצמו 'לואיס קרול'. תעלול זהה שימש את טום רידל, שהפך ללורד וולדמורט.

בספרו המפורסם ביותר, "אליס בארץ הפלאות" (בפרק השני), מנסה אליס את כוחה באריתמגיקה.

ארבע כפול חמש הם שתים־עשרה,
ארבע כפול שש הם שלוש־עשרה,
ארבע כפול שבע הם –
בחיי! בקצב כזה, לעולם לא אגיע עד עשרים!

המוגלגים טוענים שקרול לעג למערכת החינוך הבריטית: שילינג מחולק לשנים־עשר פני; רגל – לשנים־עשר אינטש; ובשל כך למדו בתקופתו את לוח־הכפל עד שתים־עשרה.
אם נמלא את השורה הרביעית של טבלת לוח־הכפל, הכפולות של ארבע, ב'קצב' של אליס – הרי שארבע כפול שתים־עשרה הם תשע־עשרה. המשבצת הבאה בטבלה, שייכת לשורה החמישית, וממילא לא תוכל אליס להגיע אל התוצאה 'עֶשׂרים'.

מה שלא הבינו המוגלגים, הוא שתוצאותיה של אליס נכונות! אם נתמיד ב'קצב' של אליס, נגלה שארבע כפול שלוש־עשרה הם לא 'עֶשׂרים', אלא שמונים וארבע.

בבסיס הספירה המוכר לנו, לכל ספרה קיימים עשרה סימנים: מאפס עד תשע. אבל קיימים בסיסי ספירה אחרים. בסיס 2 משמש לתקשורת אור–חושך; בסיס 8 משמש לכתיבת מוסיקה; בסיס 60 שימש את קדמונֵינוּ בחישובי אסטרולוגיה וגרמטיקה.

בבסיס 18, אם נחזור לאליס, ישנם שמונה־עשר סימנים לכל ספרה: מאפס עד שבע־עשרה. לכן, המספר 'עשר' בבסיס זה – פירושו שמונה־עשרה. 'שתים־עשרה' בבסיס 18 הם 'עשר' (כלומר שמונה־עשרה) ועוד שתים; עשרים בבסיס 10 'שלנו'.
ארבע כפול חמש הם עֶשׂרים בבסיס 10, אבל 'שתים־עשרה' בבסיס 18.

ארבע כפול שש הם עשרים וארבע; אבל בבסיס 21 הם 'שלוש־עשרה'. 'עשר' ועוד שלוש.
ארבע כפול שבע הם עשרים ושמונה; אבל בבסיס 24 הם 'ארבע־עשרה'. 'עשר' ועוד ארבע.
ארבע כפול שמונה הם שלושים ושתים; אבל בבסיס 27 הם 'חמש־עשרה'…

כעת, נשים לב ל'קצב' של אליס: בכל שורת חישוב חדשה, עולֶה בסיס הספירה בשלוש.
על־פי הקצב הזה, "ארבע כפול שתים־עשרה" הם 'תשע־עשרה' בבסיס 39. 'עשר', שהם שלושים ותשע, ועוד תשע, שווים ארבעים ושמונה בבסיס 10 – שזו בדיוק התוצאה של "ארבע כפול שתים־עשרה".

אבל שורת החישוב הבאה היא "ארבע כפול שלוש־עשרה". לפי ה'קצב' של אליס, התוצאה אמורה להיות 'עשרים' בבסיס 42. ארבע כפול שלוש־עשרה הם חמישים ושתים בבסיס 10; לעומת זאת, 'עשרים' בבסיס 42 – הם שמונים וארבע בבסיס 10.

אכן, ב'קצב' הזה, אליס לעולם לא תוכל להגיע עד עשרים.

שיעורי בית:
מדוע, לדעתכם, משמש אותנו בעיקר בסיס 10? רמז: כיצד למדתם לספור?
מה הקשר בין בסיס 8 לבין מוסיקה? לא רק לטינית.
היכן תקשורת אור–חושך (בסיס 2) נמצאת סביבנו?
לבני־מוגלגים: איזה טכנולוגיות שימושיות מבוססות על תקשורת זו?
ליהודים: מה פירוש ⁗20 ,8‴ ,50″ ,31′ ;29 (בסיס 60) שמופיע בספר האלמגסט של תלמי?