אלוהים מדבר מתמטיקה – פרק 3

אלוהים מדבר מתמטיקה – פרק ג' – "אלוהים קיים מאחר שהמתמטיקה היא עקבית והשטן קיים מאחר שאנו לא יכולים להוכיח את העקביות".

רבות נאמר על המתמטיקה שהיא מלכת המדעים, וזאת משום שהיא משמשת כבסיס לכל המדע כולו. ליאונרדו דה וינצ'י טען כי מחקר אנושי יהיה חסר ביסוס אם לא ניתן לבססו על מתמטיקה.
המתמטיקה, בניגוד למקצועות המדע האחרים, היא מבוססת ובנויה בקומות.
אם במדע ניתן לבנות את הבניין מהראש ואז מהתחתית, כמו למשל בנושא הגנטיקה שבו שיערו השערות מבלי שיהיה את ההסבר להם, ורק לאחר מכן הסבירו, במתמטיקה אין משמעות לראש הבניין בלי ההוכחה.
ההוכחה היא הכלי החזק של המתמטיקאי, אחרי הכל, אם המדען ייאלץ לחקור רבות, ולאחר ניסויים רבים לקבוע טענה, הוא ימות בידיעה שייתכן ויום יבוא ויפריכו את מה שאמר. הוא יחיה בפחד, שמא התיאוריה שלו שגויה, על אף שהייתה חכמה.
גם אלברט אינשטיין, שטען כי אין דבר המהיר ממהירות האור, אולי טעה, ויום יבוא והתיאוריה שלו תקרוס. אותה תיאוריה שקיבל עליה פרס נובל.
ההבדל הוא שבמתמטיקה לא מספיקות ההשערות. אם דבר פועל על מספרים מסוימים, אי אפשר לטעון טענה כללית שכזאת.
אם, למשל נכניס לחדר מדען ומתמטיקאי בנפשם, ונבקש מהם לחשב את סכום זוויות המשולש, יתחיל המדען בעבודה שכזו: הוא ישרטט שלל משולשים, ישתמש במד זווית ויגלה כי בכל פעם מחדש הסכום הוא 180 מעלות. לאחר מכן, ייטען טענה כי סכום הזוויות במשולש הינו קבוע ושווה ל – 180 מעלות. הוא יצא מהחדר, חושב שפתר את הבעיה, אך עמוק בליבו ידע שיום יבוא ומשהו עלול למצוא משולש שאיננו בעל סכום זוויות של 180 מעלות.
ייתכן והמתמטיקאי, בדומה למדען, יתחיל לחשב בצורה דומה משולשים שונים, אך ברגע שיגלה כי הם כולם בעלי סכום זוויות זהה, הוא יצייר משולש ובו הזוויות הן לא מספרים אלא אותיות, וזאת על מנת להוכיח את הטענה הזו. לאחר זמן מה, הוא ימצא הוכחה ויוכיח מעל לכל ספק אפשרי, שסכום הזוויות במשולש הוא לעולם 180 מעלות.
המתמטיקאי יצא מהחדר עם חיוך, בעוד שהמדען יצא מהחדר עם דאגה. במקרה הזה, המתמטיקאי ניצח.
זו הסיבה לכך שהמתמטיקה כל כך חזקה – לא ניתן להפיל אותה, משום שהיא מבוססת כל כך על ידי העקרונות הבסיסיים. אם תבקשו ממתמטיקאי הוכחה לכל דבר, הוא ייתן לכם עד שהוא יגיע אל האקסיומות, אותם משפטים שלא ניתן להוכיח אותם, אך הם ברורים לכל כנכונים על פי ההיגיון.
כמו למשל, האקסיומה הטוענת כי בין שתי נקודות עובר ישר אחד בלבד. לא ניתן בשום צורה אפשרית לצייר את כל אינסוף הנקודות בתוך אינסוף המישורים ולבדוק האם באמת ישנו קו ישר אחד ויחיד, אך אפשר, על פי ההיגיון, להסכים כי לא ניתן להעביר יותר מישר אחד שיענה על תנאי זה של מעבר דרך שתי נקודות אלו.
ההוכחה היא כלי חזק בידיו של המתמטיקאי, והיא נועדה לתת ביסוס לכל אחת מעבודותיו.

ניתן לדמיין מתמטיקה כבניין גבוה, שכל דור מוסיף קומה אל הבניין, אך הוא לעולם לא יקרוס משום שהבסיס שלו כל כך חזק, וכל כך נטוע באדמה, ששום דבר לא יכול להזיז אותו.
דבר זה, למשל, מתבטא בעובדה כי גם הסתירות המתמטיות ניתנות להסבר.
כך למשל, חלוקה באפס היא דבר בלתי הגיוני.
הרי חלוקה פירושה לקחת כמות ולחלקה למספר אנשים. כך למשל, אם יש לי עשרים תפוזים, ואבקש לחלק אותם בין ארבעה אנשים, כל אחד יקבל חמש. אם אבקש לחלקם לחמישה אנשים, כל אחד יקבל ארבעה תפוזים. אך מה יקרה אם ארצה לחלק את עשרים התפוזים לאפס אנשים? מה המשמעות של זה?
אם תקלידו במחשבון את התרגיל 20:0, תקבלו את הכיתוב Math Error. שגיאה מתמטית.
מדוע זוהי שגיאה? משום שהדבר סותר את ההיגיון.
יגיד אדם שזוהי ההוכחה שהמתמטיקה טועה, אך זוהי טעות לכשעצמה.
למעשה, חלוקה באפס היא אחת מהגדרות האינסוף.
על מנת להבין זאת יותר טוב, נשתמש בפונקציה. מהי פונקציה?
פונקציה היא מעין תבנית המקשרת בין שני משתנים: y ו –x. הרעיון הוא שכאשר מציבים x בתבנית, מקבלים את y. למשל, התבנית y=x נותנת לנו עבור כל x ערך y זהה.
התבנית y=x+1 תיתן לנו עבור כל x ערך y הגדול באחד.
על מנת להבין את החלוקה באפס, נשתמש בתבנית הפשוטה: y=1/x. כלומר, עבור כל ערך של x, נקבל את הערך של אחד לחלק לאותו x.
כפי שראינו, לא ניתן להציב x=0 בתבנית זו, אך אם נציב מספרים קרובים לאפס, נוכל לגלות מה קורה שם פחות או יותר:
עבור x=0.5, נקבל y=2. עבור x=0.3, נקבל y=3.333…, עבור x=0.1, נקבל y=10. עבור x=0.0001, נקבל y=10,000.
כלומר, ככל ש – x מתקרב לאפס, ככה ה – y שלנו גדל. כלומר, אם נגיע ל – x ממש ממש ממש קרוב לאפס, נקבל מספר עצום כל כך שהוא שואף לאינסוף.
מכאן הבנו שחלוקה באפס איננה סתירה מתמטית, אלא רק ההגדרה לאינסוף, כלומר, המתמטיקה פשוט לא נופלת.
כל אחת מה"סתירות" במתמטיקה הן בעלות הסבר, והן לא יותר ממקרה פרטי.

לפיכך, מכיוון שגילינו שלא ניתן להפריך את המתמטיקה, עלינו לקבל את העובדה שהיא פשוט מושלמת מבחינת הבנייה שלה. יש לנו, כמובן, עוד הרבה לחקור ולגלות, אך בעיקרון – כל דבר חדש שנגלה לא יסתור את מבנה.
אם כך, האין זה טיעון מספק על כך שאם אלוהים רוצה לבנות יקום מושלם, הוא ישתמש בשפה מושלמת? אחרי הכל, הטבע משתמש באותם התכונות של המספרים, ובכל פעם מחדש, מוכיח כי המתמטיקה שולטת בו. הוא מדבר במתמטיקה, כאשר האותיות הן המספרים, ובניגוד לשפה העברית, למשל, בה ישנן רק 22 אותיות, במתמטיקה ישנם אינסוף מספרים, כלומר, ניתן לכתוב כל כך הרבה דברים.
דבר זה יכול להסביר שאם קיים אלוהים, הוא ללא ספק מדבר מתמטיקה.