Rumpelschtilzchen
מבוסס על "אלוהים מדבר מתמטיקה", ושלל מאמרי פיבונאצ'י. כמו־כן, מבוסס בחופשיות על 'גולדשטיין' ועל סדרת 'הארי פוטר'.

כשפומטיקה #10

Rumpelschtilzchen 16/06/2021 278 צפיות 8 תגובות
מבוסס על "אלוהים מדבר מתמטיקה", ושלל מאמרי פיבונאצ'י. כמו־כן, מבוסס בחופשיות על 'גולדשטיין' ועל סדרת 'הארי פוטר'.

את פיתגורס, שהכחיש את קיומם של המספרים הלא־רציונאליים, כבר הזכרתי בעבר. הקסם של פיבונאצ’י, לא רק מוכיח את קיומם; הוא אף מכיל ומייצר את הקסם של פיתגורס, בדרכו שלו.

נבחר רצף כלשהו של ארבעה מספרים מסדרת פיבונאצ’י. לדוגמא: 21 ,13 ,8 ,5 .
כעת, נכפיל את הראשון והרביעי זה בזה – והתוצאה תשמש כניצב ראשון.
נכפיל את השני והשלישי זה בזה, ואת התוצאה נכפיל בשתיים. התוצאה – ניצב שני.
נעלה בריבוע את המספרים השני והשלישי, ונסכם את הריבועים. התוצאה – היתר.

105 = 21 × 5;
208 = 2 × 13 × 8;
233 = 169 + 64 = 13² + 8²;
ושלשת פיתגורס שקיבלנו היא: 233 ,208 ,105 . 233² = 208² + 105² .

משולש הזהב של פיתגורס -5 ,4 ,3- נובע מראשית סדרת פיבונאצ’י – 3 ,2 ,1 ,1 .

כמו משולש הזהב, קיים גם יחס הזהב. היחס בין שני מספרים עוקבים בסדרה, מתכנס למספר לא־רציונאלי שערכו: 1.618033 (בערך), והוא מסומן באות היוונית φ (פִֿי) על־שם פיבונאצ’י כמובן.
אם נעלה את φ בריבוע, נקבל 1 + φ.

אם נשרטט בפרופורציה הנכונה את עיגול הירח בצמוד לעיגול כוכב־ארץ, נקבל שרדיוס ארץ הוא ניצב אחד, סכום רדיוס ארץ ורדיוס הירח – ניצב שני, והיתר הפיתגוראי הוא φ.

את יחס הזהב ניתן לראות בטבע הסובב אותנו, כמעט בכל מבט. החל מהיחס שבין האף לפה, בין העיניים לסנטר, ובין האוזניים לגובה הראש; דרך היחס בין פרקי האצבעות, בין הגפיים, גובה ומוטת האדם; ועד הגדרות היופי המוחלטות, שאינן תלויות גזע, חינוך, או תרבות.

זה המקום להכיר את ליאונארדו דה־ווינצ’י. שנים־עשר אחיו־למחצה של ליאונארדו היו קוסמים מצד אימם. הוא עצמו היה מוגל. הוא שנא קוסמים. אלא שבניגוד לבערות של ימי הביניים, דה־ווינצ’י תיעל את שנאתו כדי ‘להעתיק’ קסמים, בדגש על כשפומטיקה, אל עולם המוגלגים.
שמור לו מקום של כבוד, הן בקרב מוגלגים והן בקרב קוסמים.

דה־ווינצ’י צייר את ‘האדם הוויטרוביאני’. פניו – מרקוס וויטרוביוס מהשיעור הקודם. בציור זה, מופיעות רבות מן הפרופורציות המושלמות של יחס הזהב. גם ב’מונה ליזה’ מופיעות רבות מפרופורציות יחס הזהב.
בעזרת היחס האלוהי φ, קרא דה־ווינצ’י תיגר על רבים מכשפי הכשפומטיקה.

וויטרוביוס עצמו השתמש ביחס הזהב כדי לבנות את בית־המקדש בירושלים; את הפרתנון באתונה; ואת הפירמידה הגדולה בגיזה.
על חורבות בית־המקדש, בנה סולימן הגדול את כיפת הזהב. גם היא על־פי יחס הזהב.

את יחס הזהב ניתן לראות בהתפלגות הענפים בעצים רבים; במידות עלי הכותרת של פרחים; ביחס שבין חלקיה של הקונכייה; ועד ליחס שבין מרחקי כוכבי הלכת מן השמש.

ארון־הברית היהודי, שבתוכו לוחות הברית, גם הוא בנוי על־פי יחס הזהב. כך גם ימת הכינרת, וחצי האי סיני. היחס בין הכינרת לסיני הוא ריבוע ח”י, 18².

הזווית השלמה ביותר היא 360̊. אם נחלק אותה ב־ φ, נקבל בערך 222.5̊. המשלימה שלה ל־ 360, היא (בערך) 137.5̊. זוהי זווית הזהב. זווית שמגדירה את כיוון צמיחתם של עלים חדשים ביחס לאלו הקיימים.
את הזווית הזו ניתן לראות בין העלים בצמחים רבים כמו הוורד, האלוורה, הכרובית, ועוד רבים אחרים.
כמו כן, זווית זו ניכרת לעין בכוון צמיחתם של ענפים ביחס לענף שממנו התפצלו; בקרני איילים; ברגלי ציפורים; והרשימה עוד ארוכה.

ספירלת הזהב היא לוליין לוגריתמי, שמורכב מקשתות רבע־מעגל, כך שכל קשת נוספת גדולה מקודמתה על־פי סדרת פיבונאצ’י. צורה זו היא פרקטל אין־סופי.
בשינוי כיוון הספירלה, נקבל צורת גל. גל הזהב.

את הספירלה נוכל לראות בחלזונות וקונכיות רבות, בשבירת גלי הים, בצורת ההתקדמות של נחשי מים, בצורת ההתקדמות של טיסן טבעות, בתִפְרַחַת החמנייה, בצורת האצטרובל, בצורת המערבולת כשאנו מערבבים דבש בתה או שוטפים את האסלה, בהתפלגות ענני הוריקן, ועד לצורתה הספירלית של הגלקסיה כולה.

את צורת הגל ניתן לראות בזנבו של סוסון־ים, בחדק הפיל, בצורת האף האנושי, השפם או צורת כף הרגל, ועד לעיטורי עמודי־כותרת או זנב הגיטרה.

כבר אמרתי בעבר, וכנראה עוד אחזור על כך: הכשפומטיקה היא השפה שבה נברא העולם.

שיעורי בית:
כמה קשרים תוכלו למצוא בין הדבורים לבין יחס הזהב?
היכן עוד מופיעים גל הזהב וספירלת הזהב בעולמנו?
נסו ‘לצייר’ את ספירלת הזהב על תמונת ה’מונה־ליזה’. מה תוכלו לגלות?
מה הקשר בין סדרת פיבונאצ’י למוסיקה? רמז: מהי אוקטבה?
איך קרה, לדעתכם, שאף אחד מאחיו־למחצה של דה־וינצ’י לא למד כשפומטיקה – ודווקא ליאונארדו המוגל הצליח בכך?
מדוע ‘משולש הזהב’ מיוחס לפיתגורס, כאשר ‘יחס הזהב’, ‘זווית הזהב’, ‘ספירלת הזהב’ ו’גל הזהב’ מיוחסים כולם לסדרת פיבונאצ’י?

כשפומטיקה #10
דרוג הסיפור 3 | 2 מדרגים

תגובות (8)

ראשית סדרת פיבונאצ’י: 3 ,2 ,1 ,1.
הטעות מובנת, התחלת את השורה עם צלעות משולש הזהב במספרים.

יחס הזהב הוא מרתק, למרות שכן יש הגזמה בערך שמעניקים לו. עדיין אהבתי לראות עד כמה השיעור הזה מפרט עליו ומדבר על נושאים רבים שקשורים אליו. הפרק מוצלח!

אולי כאן אתה טוען שמוגל לקח השראה מכשפומטיקה לצורך המתמטיקה המוכרת לנו, אבל אני מסרב להאמין שההפך לא קרה לפני כן. כל כך הרבה מוגלים פיתחו אותה במהלך השנים, ואני בטוח שדווקא הקוסמים הם אלו שהעתיקו ראשונים. אני עוד ארד לשורש של זה!

זה קצת מובן מאליו לדעתי ש-‘משולש הזהב’ מיוחס לפיתגורס כי הוא היה חי לפני פיבונאצ’י, עד כדי כך שזה מחשיד שאתה שואל את זה, מה שגורם לי לחשוב שאני מפספס משהו… עכשיו אני מבולבל…

מחכה להמשך! D:

17/06/2021 00:56

אאוץ’, תיקנתי. לפחות תלמיד אחד קורא בעיון. תודה!

כמובן שפיתגורס קדם לפיבונאצ’י. אבל וויטרוביוס קדם לפיתגורס, ובוודאי ארון־הברית.
פיתגורס ניסח את המשולש; משולש הזהב הוא דוגמא. למרות שהכלל נכון תמיד, פיתגורס עצמו לא קיבל את קיומם של מספרים לא רציונאליים. מספרים שמקיימים בעצמם את ‘משפט פיתגורס’.
סדרת פיבונאצ’י לא ‘מוכיחה’ את משולש פיתגורס, אלא רק מספקת שלשות נוספות של מספרים שלמים המקיימים את המשפט.

יחס הזהב, ספירלת הזהב וכו’ – הם תוצרים של הסדרה האלוהית. הם מוגדרים ומוכחים ממספריה.
פיבונאצ’י ניסח והגדיר את סדרת המספרים על־שמו, למרות שתוצריה כבר היו בטבע אלפי שנים לפניו.

אמל”ק: אין קשר לכך שפיתגורס חי לפני פיבונאצ’י, אלא למה שניסח כל אחד מהם.

ההפתעות של פיבונאצ’י נמשכות גם בפיזיקה גרעינית, במאיץ חלקיקים, בחקר החלל, בכלכלה, בפסיכולוגיה, במוזיקה, באמנות הצילום…
אי־אפשר להגזים בחשיבותה של סדרת המספרים הזו.

תודה רבה על התגובה המעודדת.

17/06/2021 23:53

המרצה היקר!
דברים נפלאים!

אני עצמי שייך לאגף ההומני יותר של בית הספר, מאלו שנכנסים לשיעור ספרות… וכבר אמרתי שאני וסיחון לא משוחחים הרבה (בייחוד אחרי שחיסלנו אותו רשמית השבת)… אבל הכתיבה נפלאה! המשך ואל תחדל!

אולי כדאי לחזור קצת לקו של הפרקים הראשונים, שסיפור המסגרת בא יותר לידי ביטוי, כי נראה שהכשפומטיקה הולכת ומשתלטת על הסיפור…

20/06/2021 00:03
E8 E8

כל הדברים האלו מזכירים לי את התשובות של התפשטות של גל במרחב המעגלי או הספרי.
(בסלים בע”מ נראה כמו קוסינוס עם אקספוננט דועך)
היופי בבסלים שאני די בטוח שאפשר לקשר את אחד המספרים המיוחדים פה להתאפסויות שלו.
או שלא, סתם מחשבה מגניבה.

אני פיזיקאי בלב ומתמטיקאי אחר כך אז מבחינתי הכל פה זה מספרים שלמים ;)

21/06/2021 02:12

עומר יקירי-
תודה רבה על תגובתך, אני שמח לקרוא שאהבת.

הפרק הנוכחי לא היה מאוד ריאלי. אפילו מאוד הומני.
לדעתי.

“תיבנה ותיכונן עיר סיחון” – לא המצאה שלי. העולם שסביבנו דורש מאיתנו הבנה בסיסית על־אודותיו. אפילו כדי לטמון את הראש בחול נדרשת ידיעה כלשהי על מהותו לעומת יכולתנו.
ראוי לכל יציר נברא ללמוד את השפה שבה נברא העולם.

הפרקים הראשונים חשובים מאוד להגדרת הסביבה, העולם, היכולות, התכנים והדמויות. הפרקים הבאים צריכים לקדם את העלילה. נכון, ‘כשפומטיקה’ אינה עלילתית (כן, ספיר, קראתי), אך מספרת בשפת בני־אדם על הבריאה האלוהית.
בביה”ס היסודי לומדים קריאה, כתיבה וחשבון; בחטיבה- כישורי למידה; בתיכון- לומדים!
“בן חמש למקרא…” – אתה מכיר את ההמשך. לכל גיל, התכנים הראויים לו.
חבל להישאר ‘ילד’. (בפרי עץ הדעת כבר נגסנו).

אני אישית, כסטודנט, למדתי גמרא בלווי מחשבון מדעי. מומלץ!

יקירE –
את “סלים בע”מ” אינני מכיר.
אכן, ניתן לתאר את גל הזהב בעזרת סינוס/ קוסינוס עם דעיכה מעריכית;
אבל שים לב לכך שבכל רגע נתון המשרעת קטנה ביחס ישר לעליית התדר הזוויתי. כל רבע גל מאוייר כרבע מעגל, כאשר בין רבעי הגל קיים יחס זהב (או קרוב לו).

למספרים השלמים יש הגדרה; וכך גם למושלמים. אפילו לרציונאליים. מספרים שאינם רציונאליים (אך שייכים לציר המספרים, בניגוד למספרים המדומים), לא ניתנים להגדרה רציונאלית. זו הסיבה שהם “ממשיים” (R).

שמחתי לקרוא שאתה מתעניין בשטויות שלי. תודה רבה.

21/06/2021 16:28

שאלה על הפרק: ניסיתי לקרוא בויקיפדיה על ויטרוביוס, לפי מה שרשום שם הוא אומנם חי בזמנו של הורדוס, אבל לא נראה סביר שביקר בארץ יהודה. הפרתנון והפירמידות נבנו שנים רבות לפניו. איך זה מתיישב עם מה שכתוב בפרק?

ועוד משהו קטן: ניסית להסתכל על מידותיו של ארון הברית וראיתי שהיחס בין אורך הארון לרוחבו וקומתו הוא 1.667. האם לזה הכוונה שהוא בנוי לפי חתך הזהב?

22/06/2021 10:46

E –
פונקציית בֶּסֶל מדרגה שניה, אכן מתארת גל דומה לגל הזהב. ההבדל העיקרי הוא הפרופורציה בין המשרעת לתדר הזוויתי.
תודה על התגובה!

ספיר –
שאלתך מוכיחה שאת אכן שייכת לבית רייבנקלו. כבוד!
הפרתנון נבנה כשלוש־מאות שנה לפני ויטרוביוס, בְּעולם הלניסטי. הפירמידה – כחמש מאות שנה לפניו. בכלל, חלק מהפירמידות הראשונות נבנו ע”י אבותינו שהיו עבדים במצרים העתיקה, כאלף ומאתיים שנה לפני ויטרוביוס.

לחלוטין לא מתיישב עם מה שכתבתי בפרק. הקשר היחיד הוא יחס הזהב.

בארץ יהודה הוא כן ביקר, ועפ”י תוכניותיו נבנו אמת המים הארוכה ליד קיסריה; מבנה מערת המכפלה; שיפוץ בית־המקדש; וההרודיון.

הוא היה אדריכל, לא קבלן ביצוע.

ארון־הברית נבנה עפ”י הגדרת המקרא ביחס 2.5 ל־ 1.5, או במספרים שלמים 5 ל־ 3. חמש ושלוש הם שני מספרים עוקבים בסדרת פיבונאצ’י.
עפ”י יחס זה בדיוק, נקבע גודלם של כרטיסי ביקור; כרטיסי אשראי; לוחיות זיכרון ועוד.
אז כן, זו בדיוק הכוונה “הוא בנוי לפי יחס הזהב”.

תודה רבה על התגובה האיכותית.

22/06/2021 17:26
7 דקות
סיפורים נוספים שיעניינו אותך