Rumpelschtilzchen
יש חיים גם מחוץ לרשת, אבל שמחתי לגלות שיש היום הרבה יותר תגובות מאשר לפני חודשיים. המשיכו כך.

כשפומטיקה #7

Rumpelschtilzchen 19/05/2021 234 צפיות 4 תגובות
יש חיים גם מחוץ לרשת, אבל שמחתי לגלות שיש היום הרבה יותר תגובות מאשר לפני חודשיים. המשיכו כך.

על־פי “אליס בארץ המתמטיקה”. מבוסס בחופשיות על “גולדשטיין” וסדרת “הארי פוטר”.


צ’ארלס לוּטְווִיג דוֹדְג’סון היה סקיבּ. למזלו, הוא היה אוטודידקט – כלומר מאלו שמסוגלים ללמוד לבד. ידיעותיו בכשפומטיקה ניכרו היטב בכתביו. את חלקם הוא אף פרסם בקרב מוגלגים.
בעזרת תעלול כשפומטי על שמו, הוא קרא לעצמו ‘לואיס קרול’. תעלול זהה שימש את טום רידל, שהפך ללורד וולדמורט.

בספרו המפורסם ביותר, “אליס בארץ הפלאות” (בפרק השני), מנסה אליס את כוחה באריתמגיקה.

ארבע כפול חמש הם שתים־עשרה,
ארבע כפול שש הם שלוש־עשרה,
ארבע כפול שבע הם –
בחיי! בקצב כזה, לעולם לא אגיע עד עשרים!

המוגלגים טוענים שקרול לעג למערכת החינוך הבריטית: שילינג מחולק לשנים־עשר פני; רגל – לשנים־עשר אינטש; ובשל כך למדו בתקופתו את לוח־הכפל עד שתים־עשרה.
אם נמלא את השורה הרביעית של טבלת לוח־הכפל, הכפולות של ארבע, ב’קצב’ של אליס – הרי שארבע כפול שתים־עשרה הם תשע־עשרה. המשבצת הבאה בטבלה, שייכת לשורה החמישית, וממילא לא תוכל אליס להגיע אל התוצאה ‘עֶשׂרים’.

מה שלא הבינו המוגלגים, הוא שתוצאותיה של אליס נכונות! אם נתמיד ב’קצב’ של אליס, נגלה שארבע כפול שלוש־עשרה הם לא ‘עֶשׂרים’, אלא שמונים וארבע.

בבסיס הספירה המוכר לנו, לכל ספרה קיימים עשרה סימנים: מאפס עד תשע. אבל קיימים בסיסי ספירה אחרים. בסיס 2 משמש לתקשורת אור–חושך; בסיס 8 משמש לכתיבת מוסיקה; בסיס 60 שימש את קדמונֵינוּ בחישובי אסטרולוגיה וגרמטיקה.

בבסיס 18, אם נחזור לאליס, ישנם שמונה־עשר סימנים לכל ספרה: מאפס עד שבע־עשרה. לכן, המספר ‘עשר’ בבסיס זה – פירושו שמונה־עשרה. ‘שתים־עשרה’ בבסיס 18 הם ‘עשר’ (כלומר שמונה־עשרה) ועוד שתים; עשרים בבסיס 10 ‘שלנו’.
ארבע כפול חמש הם עֶשׂרים בבסיס 10, אבל ‘שתים־עשרה’ בבסיס 18.

ארבע כפול שש הם עשרים וארבע; אבל בבסיס 21 הם ‘שלוש־עשרה’. ‘עשר’ ועוד שלוש.
ארבע כפול שבע הם עשרים ושמונה; אבל בבסיס 24 הם ‘ארבע־עשרה’. ‘עשר’ ועוד ארבע.
ארבע כפול שמונה הם שלושים ושתים; אבל בבסיס 27 הם ‘חמש־עשרה’…

כעת, נשים לב ל’קצב’ של אליס: בכל שורת חישוב חדשה, עולֶה בסיס הספירה בשלוש.
על־פי הקצב הזה, “ארבע כפול שתים־עשרה” הם ‘תשע־עשרה’ בבסיס 39. ‘עשר’, שהם שלושים ותשע, ועוד תשע, שווים ארבעים ושמונה בבסיס 10 – שזו בדיוק התוצאה של “ארבע כפול שתים־עשרה”.

אבל שורת החישוב הבאה היא “ארבע כפול שלוש־עשרה”. לפי ה’קצב’ של אליס, התוצאה אמורה להיות ‘עשרים’ בבסיס 42. ארבע כפול שלוש־עשרה הם חמישים ושתים בבסיס 10; לעומת זאת, ‘עשרים’ בבסיס 42 – הם שמונים וארבע בבסיס 10.

אכן, ב’קצב’ הזה, אליס לעולם לא תוכל להגיע עד עשרים.

שיעורי בית:
מדוע, לדעתכם, משמש אותנו בעיקר בסיס 10? רמז: כיצד למדתם לספור?
מה הקשר בין בסיס 8 לבין מוסיקה? לא רק לטינית.
היכן תקשורת אור–חושך (בסיס 2) נמצאת סביבנו?
לבני־מוגלגים: איזה טכנולוגיות שימושיות מבוססות על תקשורת זו?
ליהודים: מה פירוש ⁗20 ,8‴ ,50″ ,31′ ;29 (בסיס 60) שמופיע בספר האלמגסט של תלמי?

כשפומטיקה #7
דרוג הסיפור 5 | 5 מדרגים

תגובות (4)

היו קורסים שעברתי שאני השקעתי בהם פחות למידה מבשיעור הזה…

אם הבנתי נכון, על פי ‘קצב’ הספירה שלה, ארבע כפול ארבע-עשרה בבסיס 45 נקבל ‘עשרים ואחת’, ובבסיס 10 זה יוצא תשעים ואחת (?)

ועכשיו מנוחה מחשיבה.

(עוד) עובדה (אולי) מעניינת: לא תמיד השתמשו בעולם בספירה עד עשר, ואם אני זוכר נכון מקור הספירה הוא בהודו, שם גילו שלספור עם האצבעות זה די שימושי.

במהלך המחקר שלי בשיעור הבנתי שבסיס 2 הוא מספרים בינאריים. איפה זה נמצא סביבנו? כרגע מתחת לאצבעות שלי.

הערה: בפסקה שבה הסברת למה ‘שתיים עשרה’ בבסיס 18 הם ‘עשרים’ בבסיס המוכר לנו, אולי יש צורך לשים בסוגריים את החלק:
[הם ‘עשר’ (כלומר שמונה־עשרה) ועוד שתיים]
במקום הפרדה עם פסיקים. בהיתי בזה במשך כמה דקות והעיניים שלי עברו מהמשפט למחברת שוב ושוב עד שאני למה שמונה-עשרה מופיע שם.

נראה שגם פה לא היה הרבה שימוש בעולם הקסם של ‘הארי פוטר’ חוץ מבפתיחה, וגם לא הקשר ליהדות, שהם חלק גדול מהזהות של הסיפור, אז קיבלנו פרק קצת שונה. בכל מקרה, אני כאן בשביל המתמטיקה.
פרק כבד ומעניין. מחכה להמשך! D:

20/05/2021 15:47

מאקס, יקירי – תודה רבה רבה על התגובה. בעבור תגובות שכאלו – ההשקעה בכתיבה משתלמת.

מה לימדו אותך (או ניסו ללמד) בקורסים שבהם השקעת פחות?
נכון שהפרק כבד, אבל אין צורך במחברת ומחשבון.

הבנת נכון מאוד! אכן, תוצאת השורה הבאה היא ‘עשרים ואחת’ בבסיס 45, ששוֹוְיָים בבסיס 10 הוא תשעים ואחת.
21 נקודות לגריפינדור.

בסיס 2 נמצא מתחת לאצבעותיך. נכון. זה הכול??
איך שידרה הטיטאניק אות מצוקה? באינטרנט לווייני?
איך שידרו מירושלים לפומפדיתא (עירק) תוך דקות על כך שמחר ראש־חודש?
מהו כתב ברייל? מהו בר־קוד? מהו QR?
יש עוד. בקיצור, בסיס 2 הוא מהות התקשורת.

בעניין הסוגריים, אתה צודק. פה נמצא הפער בין כותב לקורא. הקורא לא יודע מראש את הנימה שבה יש לקרוא. תודה, יתוקן.

הפרק אכן שונה. מצטער. בפרק הבא כנראה אחזור לשטויות הרגילות.

20/05/2021 19:09

טוב טוב…
אני מודה שלא הייתה לי די סבלנות לנסות לערוך את כל החישובים בראש… כבר אמרתי שחלפו ימים רבים מהיום שבו הרגתי את מלך חשבון…
אני פה רק בגלל המרצה…

אם אינני טועה, יש משהו בעניין הספירה העשרונית בספר הכוזרי.
אני גם חושב ששמעתי על זה פעם הסכת, נראה לי של דורון פישלר, “המובן מאליו”.

ואם הרמה של השיעורים תוסיף לעלות – אאלץ לרדת הקבצה…

21/05/2021 18:24

    תודה רבה על התגובה.
    גוע מלך שבן מעניין יותר מסיחון אחיו. ברור.

    ניסיתי, וכנראה שלא כל־כך הצלחתי, להציג את יופיה של ארץ סיחון.
    לצערי, איאלץ להוריד את הרמה.

    קוראים יקרים – גם (ובעיקר) כשהביקורת כואבת, היא מסייעת לנו להשתפר. אנא הגיבו. תודה.

    24/05/2021 19:00
4 דקות
סיפורים נוספים שיעניינו אותך